퇴사한 직원의 상실사유 변경 요청의 건

안녕하세요. 작은 중소기업입니다. 2년1개월 근무한 직원이 얼마전 퇴사했습니다.(계약서 작성하고 정직원 근무중었고, 사직서에는 이직한다면서 개인사유퇴사라고 본인이 기재했습니다. 퇴사후 퇴직금과 성과급도 지급했습니다.) 그리고 1개월이지나 연락이와서 고용센터에 실업급여 수급상담을 하니, 회사에서 이직확인서에 계약종료로 정정신고되어야한다고 안내를받았다면서 실업급여받을수있게 정정신고해달라고하네요. 그래서 퇴사했어도 좋은인연이었다고 생각되어 정정방안에대해 노무사님께 자문결과, 계약종료로 처리하기에 과태료에대한 부담, 자칫 부정수급으로 조사될수있다고하여, 이러한 내용을 상세히 안내해주었습니다. 관할지사에도 전화로 문의해보니 과태료가 나갈수도있고 안나갈수도있고, 사실과 반하는내용의 정정신고이면 부정수급대상이될수도 있다고 들었습니다. 그런데, 오늘다시연락와서 고용센터에서 과태료거이안나오고, 벌금맞을 가능성도 거이없다고 회사에서 정정신고되어야한다고했답니다. 그러면서 실업급여받을수있게 정정신고해달라하네요. 혹시 이같은 케이스에는 어찌해야좋을까요? 도움주고싶지만 사실에반하는내용으로 신고하는건 영 아닌것같아서요.