근로 계약서도 이중 계약이 성립되나요?

안녕하세요, 선배님들. 이직과 관련해 걱정되는 부분이 있어 글 남깁니다.. 새로운 회사에 합격했고, 오퍼레터와 근로계약서를 곧 받을 예정입니다. 그런데 사실 저는 1달반 정도 근무하고 있던 직장이 있습니다만 저와 맞지 않는 것 같아 이직을 고민하고 있었고, 합격한 회사에는 이미 “현재 다니는 회사가 없다”고 말해둔 상태입니다. 상황을 정리하면: 현 직장: 재직 중, 아직 퇴사 의사 전달 안 함 새 직장: 합격 통보를 받았고, 조만간 오퍼레터 및 근로계약서 예정 면접 시 새 회사에는 “현재 재직 중 아님”이라고 전달함 퇴사 통보 및 퇴직 처리는 오퍼레터/계약서를 받고 나서 진행할 계획 걱정되는 부분 : 1. 추후 건강보험 자격득실 내역으로 보면 지금도 직장 가입자로 남아 있는데, 새 회사에 말한 것과 모순으로 비칠 수 있을지 2. 오퍼레터에 근로계약서가 함께 온다면 서명 시에 현 직장에서 작성한 근로 계약과 이중 계약으로 성립되는 지 3. 선배님들이라면 이 상황에서 어떤 순서로 움직이는 게 가장 깔끔할지 사실 저로서는 오퍼레터를 받기 전까지는 확정이 아니라고 생각해서 전 직장에 퇴사 얘기를 미루고 있었는데, 이렇게 하는 게 일반적인지 잘 모르겠습니다. 혹시 비슷한 경험을 해보셨거나 HR/노무 쪽 경험 있으신 선배님들의 의견을 듣고 싶습니다. 읽어주셔서 감사합니다.