계약직 차별대우 수당을 퇴사 시점에서 청구 가능할까요?

안녕하세요. 저는 서울시 민간위탁 운영의 시립 청소년 수련시설에서 약 3년간 근무한 사람입니다. 2021년 3월 입사하여 2년 동안 계약직으로 일하다가 2023년 3월에 정규직으로 전환되었으며, 현재는 퇴사예정 입니다. 서울시 위탁시설의 특성상 임금은 서울시 예산편성 기준에 따라 호봉제로 책정됩니다. 하지만 저는 계약직으로 근무하는 동안(약 2년) 기본급 외에는 추가근로 수당 외에 다른 수당을 받지 못했습니다. 당시 제 월급은 세전 210만 원이었고, 명절수당 등 정기 상여금은 전혀 지급되지 않았습니다. 정규직으로 전환된 직후에 2023년 4월에 진행된 노무 컨설팅 내용을 알게 되었습니다. 내용 중에 계약직 근로자들에게 임금 차별이 있었다는 지적이 있었습니다. 정규직과 비정규직의 임금 차별(계약직법 제8조 위반) 및 서울시 생활임금 보장 위반(서울시 생활임금 조례) 문제였습니다. 그 이후로 입사한 비정규직 근로자들은 정기 상여금 및 서울시 생활임금을 보장받게 되었지만, 저는 계약직 기간 동안 정기 상여금은 물론 서울시 생활임금도 받지 못하며 차별을 경험한 사실을 알게 되었습니다. 현재 저는 퇴사 예정이며, 이러한 차별로 인해 받지 못한 수당에 대해 사측에 청구할 수 있을지 궁금합니다. 이미 노동청에 문의했으나, 차별 발생일로부터 6개월이 경과하여 시정 조치는 불가능하다는 답변을 받았습니다. 그렇다면 다른 방법으로 보상을 받을 수 있을지, 혹시 추가적으로 청구 가능한 법적 절차가 있는지 조언을 부탁드립니다. 감사합니다.