입사일 조율 시기 ㅠ 고민입니다

안녕하세요 1월 초 출산을 앞두고 있는 예비 아빠입니다. 원하던 회사에 최종 면접을 합격하였고, 처우 및 입사일을 협의할 예정입니다. 전 현재 무직 상태이며, 사측도 그 사실을 알고 있습니다 현재 배우자 출산 및 임신 이야기는 하지 않은 상태이며, 자연분만을 (배우자 의지입니다!) 앞두고 있기에 1-2주 정도 출산이 지연될 수도 있는 일입니다. 이 경우 회사에서 1월 초에 입사하라고 했을 때 입사 시기를 미루는 근거로 배우자 출산을 거론해도 될까요? 만약 출산 이전에 입사를 해야 할 경우, 입사하자마자 출산하게 되어 배우자 출산 휴가를 쓰는 것도 애매하다고 판단, 입사 희망일은 1월 중순 이후로 희망하고 있습니다. 갓난 아이의 아빠라는걸 사측에서 알게되면 이래저래 육아에 정신팔려 회사일에 소홀할 수 있다는 이유로, 처우협의 과정에서 탈락하거나 수습기간에 탈락할 것 같아 두렵네요 ㅠ (주변에서 종종 겪은 케이스입니다. ) 선배님들 조언 부탁드립니다!